Моделирование поведения бетона, зависящего от времени, в мезомасштабе

Ползучесть и усадка бетона – это зависящие от времени деформации, влияющие, в первую очередь, на эксплуатационную пригодность, а в некоторых случаях и на безопасность железобетонных конструкций, и с предварительным напряжением, и без него. Усадка, в основном, обусловлена как самовысушиванием, так и высыханием влаги, если бетон подвергается воздействию окружающей среды с более низкой относительной влажностью. Вдобавок и в сочетании с этим, большие и в значительной степени неустранимые деформации ползучести бетона могут вызвать значительные изменения воздействий на конструкции с точки зрения распределения внутренних напряжений, чрезмерных прогибов и потерь предварительного напряжения, а также привести к образованию больших трещин. Все эти эффекты влияют на работоспособность и долговечность конструкций, а также могут влиять на их структурную безопасность.

Для объяснения и моделирования зависящего от времени поведения бетона предложено много моделей. Кроме того, в литературе было представлено несколько методов, упрощающих расчет деформации ползучести конструкций, таких как метод эффективного модуля, метод скорости ползучести, метод коэффициента старения (метод AAEM) и подход, основанный на линейной теории вязкоупругости старения. В последнее время разработаны также более совершенные и продвинутые подходы к детальному численному анализу структурных эффектов ползучести и усадки бетона в сложных, неоднородных и последовательно возводимых конструкциях. Однако зависящее от времени поведение бетона должно быть согласовано с определенной обстановкой в более широких всеобъемлющих рамках, поскольку оно является результатом взаимодействия многочисленных химических, физических и механических процессов, которые являются функциями состава материала и его выдерживания, а также воздействия окружающей среды и условий нагружения.

Природа и масштабы, в которых происходят все вышеупомянутые процессы, представляют собой сложную задачу для численного моделирования. Бетон – гетерогенный материал, состоящий из двух компонентов, имеющих очень большие различия: цементной матрицы и заполнителей. Заполнители, как правило, гораздо более жесткие, менее пористые, и их зависящие от времени деформации на порядки ниже, чем у цементной матрицы. Оставаясь на мезоуровне, эти две фазы создают основную гетерогенность бетона, поскольку в этом масштабе вклад границы раздела матрица/заполнитель, называемой «межфазной переходной зоной» (ITZ), можно условно объединить с матрицей и отличить их от заполнителя, чтобы затем описать основную гетерогенность бетона. Путем отделения заполнителя от матрицы можно непосредственно уловить мезомасштабное взаимодействие на этом уровне; например, когда бетон нагружается при сжатии, мезоструктура испытывает хорошо известный механизм расщепления заполнителей. Мезомасштабные модели способны разрешать напряжения и деформации на таком уровне и могут различать деформации растяжения и сжатия, в то время как макроскопические модели должны усреднять их. Это различие становится очень важным при взаимодействии повреждений и ползучести/усадки, или когда внутренние самоуравновешенные напряжения являются единственным источником нагружения, как, например, при неравномерном высушивании или свободном расширении при прогрессирующей щелочной реакции заполнителя (ASR); в этих случаях макроскопические напряжения равны нулю. Следовательно, макроскопические непрерывные модели должны явно учитывать эти явления на более низком уровне в своих основных (конститутивных) законах.

В литературе существует множество мезомасштабных подходов, основанных на континуальных моделях конечных элементов (FE), на дискретных моделях, таких как классические методы дискретных элементов частиц (DEM). Описаны решетчатые методы и комплексный подход, сочетающий в себе оба вышеприведенных метода и называемый «решетчатой дискретной моделью частиц». Известны сети «жесткого тела – пружины» (RBSN), а также интерфейсные модели элементов с определяющими законами, базирующимися на нелинейной механике разрушения. Только через физическую основу конститутивных подходов может быть преодолена проблема создания надежных моделей прогнозирования, но это по-прежнему требует калибровки в обширной базе данных.

В данной статье впервые будет рассмотрен современный мезомасштабный подход, способный удивительно хорошо представить зависящее от времени поведение бетона. Этот мезомасштабный подход состоит из комбинации мезомасштабной дискретной модели, называемой «решетчатой дискретной моделью частиц» (LDPM), которая является всеобъемлющей моделью бетона. Она представляет внутреннюю структуру (неоднородность) материала с помощью набора крупных заполнителей, которые взаимодействуют на дискретных границах раздела. Модель успешно применялась при моделировании образцов бетона и железобетонных конструкций в различных условиях статического и динамического нагружения. Недавно LDPM была объединена с гидротермохимической (HTC) моделью, что привело к созданию мультифизической платформы, которая позже была расширена для учета связанных деформаций ползучести, усадки и щелочной реакции заполнителя (ASR). В этом контексте деформации ползучести и усадки моделируются на основе дискретного варианта теории микропреднапряжения – твердения.

Наконец, для демонстрации возможностей и уникальных особенностей предложенной вычислительной платформы в статье используются различные наборы экспериментальных данных, имеющиеся в литературе. Поскольку вычислительная платформа состоит из нескольких компонентов, она требует объективной твердой стратегии калибровки множества параметров. В цифровых применениях сначала представляется калибровка каждого компонента модели на основе пригодных для этой цели данных испытаний. Затем выполняется валидация с использованием экспериментальных данных, которые не были использованы для калибровки. Примеры, рассмотренные в статье, относятся к ползучести и усадке при различных гидротермических условиях, влиянию старения на прочность, третичной ползучести и ее применению к анализу времени до разрушения, разрушающему эффекту щелочной реакции заполнителей (ASR) в сочетании с ползучестью и усадкой.

1. Khan A.A., Cook W.D., Mitchell D. Creep, shrinkage, and thermal strains in normal, medium, and highstrength concretes during hydration. <i>ACI Materials Journal.</i> 94 (2).

2. Jirásek M., Ba ant Z.P. Inelastic Analysis of Structures. J. Wiley&Sons, London and New York, 2002.

3. Ba ant Z.P., Jirásek M. Creep and hygrothermal effects in concrete structures. Springer, Dordrecht, The Netherlands, 2018.

4. Ba ant Z. Constitutive equation for concrete creep and shrinkage based on thermodynamics of multiphase systems. Matériaux et Construction 3 (1) (1970) 3–36.

5. Ba ant Z., Chern J. Concrete creep at variable humidity: constitutive law and mechanism. <i>Materials and Structures.</i> 1985. Vol. 18, pp. 1–20.

6. Ulm F.J., Coussy O. Modeling of thermo-chemo-mechanical couplings of concrete at early ages. <i>Journal of Engineering Mechanics.</i> 1995. Vol. 121 (7), pp. 785–794.

7. Ba ant Z.P. Prediction of concrete creep and shrinkage: past, present and future. <i>Nuclear Engineering and Design.</i> 2001. Vol. 203 (1), pp. 27–38.

8. Jennings H.M. Colloid model of C-S-H and implications to the problem of creep and shrinkage. <i>Materials and Structures.</i> 2004. Vol. 37 (1), pp. 59–70.

9. Pichler C., Lackner R. A multiscale creep model as basis for simulation of early age concrete behavior. <i>Computers and Concrete.</i> 2008. Vol. 5 (4), pp. 295–328.

10. Scheiner S., Hellmich C. Continuum micro-viscoelasticity model for aging basic creep of early-age concrete, <i>Journal of Engineering Mechanics</i> 135 (4) (2009) 307–323.

11. Jirásek M., Havlásek P. Accurate approximations of concrete creep compliance functions based on continuous retardation spectra. <i>Computers & Structures</i> 135 (2014) 155–168.

12. Faber O. Plastic yield, shrinkage, and other problems of concrete, and their effect on design. <i>In: In Minutes of the Proceedings of the Institution of Civil Engineers</i>, Vol. 225, ICE Publishing, London, UK, 1927/28, pp. 27–76, with discussion 76–130.

13. Glanville W. Studies in reinforced concrete-iii, the creep or flow of concrete under load. Build. Res. <i>Tech. Pap.</i> 1930. No. 12, pp. 1–39.

14. Ba ant Z. Prediction of concrete creep effects using age-adjusted effective modulus method. <i>J. Am. Concr. Inst.</i> 1972. Vol. 69, pp. 212–217.

15. Chiorino M.A. A rational approach to the analysis of creep structural effects. In: N.J. Gardner, W. e. Weiss (Eds.), Shrinkage and creep of concrete, SP-227, American Concrete Institute (ACI), Farmington Hills, MI, 2005, pp. 107–141, see also [40. and its included referenced literature by, among others, Maslov, Gvozdev, Mc Henry, Ba ant, Mola et al.

16. Gitman I., Askes H., Sluys L. Coupled-volume multiscale

17. modelling of quasi-brittle material. <i>European Journal of Mechanics – A/Solids.</i> 2008. Vol. 27, pp. 302–327.

18. Skarzynski ., Tejchman J. Calculations of fracture process zones on meso-scale in notched concrete beams subjected to three-point bending. <i>European Journal of Mechanics – A/Solids.</i> 2010. Vol. 29 (4), pp. 746–760.

19. Benkemoun N., Hautefeuille M., Colliat J., Ibrahimbegovic A. Failure of heterogeneous materials: 3D meso-scale FE models with embedded discontinuities. <i>International Journal for Numerical Methods in Engineering.</i> 2010. Vol. 82, pp. 1671–1688.

20. Kim S., Al-Rub R.A., Meso-scale computational modeling of the plastic-damage response of cementitious composites. <i>Cement and Concrete Research.</i> 2011. Vol. 41, pp. 339–358.

21. Shahbeyk S., Hosseini M., Yaghoobi M. Mesoscale finite element prediction of concrete failure. <i>Computational Materials Science.</i> 2011. Vol. 50 (7), pp. 1973–1990.

22. Ren W., Yang Z., Sharma R., Zhang C., Withers P. Two-dimensional x-ray ct image based meso-scale fracture modelling of concrete. <i>Engineering Fracture Mechanics.</i> 2015. Vol. 133, pp. 24–39.

23. Zhou R., Song Z., Lu Y. 3D mesoscale finite element modelling of concrete. <i>Computers and Structures.</i> 2017. Vol. 192, pp. 96–113.

24. Jin R.Z.X.D.L., Xu J. Numerical study on the impact performances of reinforced concrete beams: a mesoscopic simulation method. <i>Engineering Failure Analysis.</i> 2017. Vol. 80, pp. 141–163.

25. Skarzynski ., Nitka M., Tejchman J. Modelling of concrete fracture at aggregate level using fem and dem based on x-ray mct images of internal structure. <i>Engineering Fracture Mechanics.</i> 2015. No. 10 (147), pp. 13–35.

26. Suchorzewski J., Tejchman J., Nitka M. Discrete element method simulations of fracture in concrete under uniaxial compression based on its real internal structure. <i>International Journal of Damage Mechanics.</i> 2017. Vol. 27 (4), pp. 578–607.

27. Hentz S., Daudeville L., Donzé F. Identification and validation of a discrete element model for concrete. <i>Journal of Engineering Mechanics.</i> 2004. Vol. 130 (6), pp. 709–719.

28. Dupray F., Malecot Y., Daudeville L., Buzaud E. Mesoscopic model for the behavior of concrete under high confinement. <i>International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics.</i> 2009. Vol. 33, pp. 1407–1423.

29. Donzé F., Magnier S., Daudeville L., Mariotti C. Numerical study of compressive behavior of concrete at high strain rates. <i>Journal of Engineering Mechanics.</i> 1999. Vol. 122 (80), pp. 1154–1163.

30. Nitka M., Tejchman J. Modelling of concrete behavior in uniaxial compression and tension with dem. <i>Granular Matter.</i> 2015. Vol. 17 (1), pp. 145–164.

31. Groh U., Konietzk H., Walter K. et al. Damage simulation of brittle heterogeneous materials at the grain size level. <i>Theoretical and Applied Fracture Mechanics.</i> 2011. Vol. 55, pp. 31–38.

32. Lilliu G., Mier J. van 3D lattice type fracture model for concrete. <i>Engineering Fracture Mechanics.</i> 2003. Vol. 70, pp. 927–941.

33. Herrmann H., Hansen A., Roux S. Fracture of disordered, elastic lattices in two dimensions. <i>Physical Review B.</i> 1989. Vol. 39, pp. 637–647.

34. Kozicki J., Tejchman J. Modelling of fracture processes in concrete using a novel lattice model. <i>Granular Matter.</i> 2008. Vol. 10, pp. 377–388.

35. Cusatis G., Pelessone D., Mencarelli A. Lattice discrete particle model (LDPM) for concrete failure behavior of concrete. I: Theory. <i>Cement and Concrete Composites.</i> 2011. Vol. 33 (9), pp. 881–890.

36. Bolander J., Saito S. Fracture analyses using spring networks with random geometry. <i>Engineering Fracture Mechanics.</i> 1998. Vol. 61, pp. 569–591.

37. Bolander J., Sukumar N. Irregular lattice model for quasistatic crack propagation. <i>Physical Review B.</i> 2005. Vol. 71 (9). 094106.

38. Asahina D., Aoyagi K., Kim K., Birkholzer J., Bolander J. Elastically-homogeneous lattice models of damage in geomaterials. <i>Computers and Geotechnics.</i> 2017. Vol. 81, pp. 195–206.

39. Kawai T. New discrete models and their applications to seismic response analysis of structures. <i>Nuclear Engineering and Design.</i> 1978. Vol. 48, pp. 207–229.

40. Carol I., Lopez C., Roa O. Micromechanical analysis of quasi-brittle materials using fracture-based interface elements. <i>International Journal for Numerical Methods in Engineering.</i> 2001. Vol. 52, pp. 193–215.

41. Chiorino M.A. Analysis of structural effects of timedependent behaviour of concrete: an internationally harmonized format – recent updates. <i>Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel’stvo.</i> 2019. No. 2, pp. 4–18. May 2021 issue of the same Journal.

42. Cusatis G., Mencarelli A., Pelessone D., Baylot J., Lattice discrete particle model (LDPM) for failure behavior of concrete. II: calibration and validation. <i>Cement and Concrete Composites</i>. 2011. Vol. 33 (9), pp. 891–905.

43. Rezakhani R., Cusatis G. Generalized mathematical homogenization of the lattice discrete particle model. <i>In: Proceedings of the 8th International Conference on Fracture Mechanics of Concrete and Concrete Structures, FraMCoS.</i> 2013, Toledo, Spain, 2013, pp. 261–271.

44. Alnaggar M., Cusatis G. Automatic parameter identification of discrete mesoscale models with application to the coarse-grained simulation of reinforced concrete structures. <i>In: J. Carrato, J. G. Burns (Eds.), 20th Analysis and computation specialty conference, American Society of Civil Engineers.</i> 2012, pp. 406–417.

45. Cusatis G., Rezakhani R., Alnaggar M., Zhou X., Pelessone D. Multiscale computational models for the simulation of concrete materials and structures. <i>Computational Modelling of Concrete Structures;</i> CRC Press: Boca Raton, FL, USA (2014) 23–38.

46. Luzio G.Di, Cusatis G. Hygro-thermo-chemical modeling of high-performance concrete. I: Theory. <i>Cement and Concrete Composites.</i> 2009. Vol. 31 (5), pp. 301–308.

47. Luzio G.Di, Cusatis G. Hygro-thermo-chemical modeling of high-performance concrete. II: Numerical implementation, calibration, and validation. <i>Cement and Concrete Composites.</i> 2009. Vol. 31 (5), pp. 309–324.

48. Alnaggar M., Cusatis G., Luzio G.Di Lattice discrete particle modeling (LDPM) of alkali silica reaction (ASR) deterioration of concrete structures. <i>Cement and Concrete Composites.</i> 2013. Vol. 41, pp. 45–59.

49. Abdellatef M., Alnaggar M., Boumakis G., Cusatis G., Luzio G.Di, Wendner R. Lattice discrete particle modeling for coupled concrete creep and shrinkage using the Solidification-Microprestress theory. <i>In: CONCREEP 10.</i> 2015, pp. 184–193.

50. Alnaggar M., Luzio G.Di, Cusatis G. Modeling timedependent behavior of concrete affected by alkali silica reaction in variable environmental conditions. <i>Materials.</i> 2017. Vol. 10 (5). p. 417.

51. Ba ant Z., Prasannan S. Solidification theory for concrete creep. I: Formulation, II: Verification and application. <i>Journal of Engineering Mechanics.</i> 1989. Vol. 115 (7), pp. 1691–1725.

52. Ba ant Z.P., Hauggaard A.B., Baweja S., Ulm F.-J. Microprestress-solidification theory for concrete creep. I: Aging and drying effects. <i>Journal of Engineering Mechanics.</i> 1997. Vol. 123 (11), pp. 1188–1194.

53. Ba ant Z.P., Cusatis G., Cedolin L. Temperature effect on concrete creep modeled by microprestresssolidification theory. <i>Journal of Engineering Mechanics 130 (Special Issue: Constitutive Modeling of Geomaterials).</i> 2004, pp. 691–699.

54. Luzio G.Di, Cusatis G. Solidification-microprestressmicroplane (SMM) theory for concrete at early age: Theory, validation and application. <i>International Journal of Solids and Structures.</i> 2013. Vol. 50, pp. 957–975.

55. Cervera M., Oliver J., Prato T. Thermo-chemo-mechanical model for concrete. I: Hydration and aging. <i>Journal of Engineering Mechanics.</i> 1999. Vol. 125 (9), pp. 1018–1027.

56. Pathirage M., Bentz D., Luzio G.Di., Masoero E., Cusatis G. The ONIX model: a parameter-free multiscale framework for the prediction of self-desiccation in concrete. <i>Cement and Concrete Composites.</i> 2019. Vol. 103, pp. 36–48.

57. Pantazopoulo S., Mills R. Microstructural aspects of the mechanical response of plain concrete. <i>ACI Matererials journal.</i> 1995. Vol. 92 (6), pp. 605–616.

58. Powers T.C. Chemistry of cements. Academic Press, London, 1964, Ch. Physical Structure of Portland Cement Paste, pp. 391–416.

59. Gawin D., Pesanto F., Schrefler B.A. Hygro-thermo-chemo-mechanical modelling of concrete at early ages and beyond. part I: hydration and hygrothermal phenomena. <i>International Journal for Numerical Methods in Engineering.</i> 2006. Vol. 67 (3), pp. 299–331.

60. Ba ant Z.P. Thermodynamics of interacting continua with surfaces and creep analysis of concrete structures. <i>Nuclear Engrg. and Des.</i> 1972. Vol. 20, pp. 477–505.

61. Baroghel-Bouny V., Mainguy M., Lassabatere T., Coussy O. Characterization and identification of equilibrium and transfer moisture properties for ordinary and high-performance cementitious materials. <i>Cement and Concrete Research.</i> 1999. 29, pp. 1225–1238.

62. Norling Mjonell K. A model on self-desiccation in high-performance concrete. <i>In: Self-desiccation and its importance in concrete technology Proceedings of the International Research Seminar.</i> Lund, Sweden. 1997, pp. 141–157.

63. Schauffert E.A., Cusatis G. Lattice discrete particle model for fiber reinforced concrete (LDPM-F): I. theory. <i>Journal of Engineering Mechanics.</i> 2012. Vol. 138 (7), pp. 826–833.

64. Schauffert E.A., Cusatis G., Pelessone D., O’Daniel J., Baylot J. Lattice discrete particle model for fiber reinforced concrete (LDPM-F): II. tensile fracture and multiaxial loading behavior. <i>Journal of Engineering Mechanics.</i> 2012. Vol. 138 (7), pp. 834–841.

65. Smith J., Cusatis G., Pelessone D., Landis E., O’Daniel J., Baylot J. Discrete modeling of ultra-highperformance concrete with application to projectile penetration. <i>International Journal of Impact Engineering.</i> 2014. Vol. 65, pp. 13–32.

66. Watstein D. Effect of straining rate on the compressive strength and elastic properties of concrete. <i>ACI Journal.</i> 1953. Vol. 49 (4), pp. 729–744.

67. Hughes B.P., Gregory R. Concrete subjected to high rates of loading in compression. <i>Magazine of Concrete Research.</i> 1972. Vol. 24 (78), pp. 25–36.

68. Reinhardt H.W. Strain rate effects on the tensile strength of concrete as predicted by thermodynamic and fracture mechanics models. <i>MRS Proceedings.</i> 1985. Vol. 64.

69. Mainstone R.J. Properties of materials at high rates of straining or loading. <i>Matériaux et Construction.</i> 1975. Vol. 8 (2), pp. 102–116.

70. Bischoff P.H., Perry S.H. Compressive behaviour of concrete at high strain rates. <i>Materials and Structures.</i> 1991. Vol. 24 (6), pp. 425–450.

71. Luzio G.Di, Cedolin L. Concrete response under dynamic loading. <i>Studies and Researches.</i> 2005. Vol. 25, pp. 155–176.

72. Wu Z.S., Ba ant Z.P. Finite element modeling of rate effect in concrete fracture with influence of creep. <i>In: Creep and Shrinkage of concrete, Proceedings of the 5th International RILEM symposium.</i> Barcelona, Spain, 1993, pp. 427–432.

73. Smith J., Cusatis G. Numerical analysis of projectile penetration and perforation of plain and fiber reinforced concrete slabs. <i>International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics.</i> 2016. Vol. 41 (3), pp. 315–337.

74. Ba ant Z.P., Xi Y. Continuous retardation spectrum for solidification theory of concrete creeps. <i>Journal of Engineering Mechanics, ASCE.</i> 1995. Vol. 121, pp. 281–288.

75. Luzio G.Di, Cedolin L., Beltrami C. Tridimensional long-term finite element analysis of reinforced concrete structures with rate-type creep approach. <i>Applied Sciences.</i> 2020. Vol. 10 (14), p. 4772.

76. Boumakis I., Luzio G.Di., Marcon M., Vorel J., Wan-Wendner R., Discrete element framework for modeling tertiary creep of concrete in tension and compression. <i>Engineering Fracture Mechanics.</i> 2018. Vol. 200, pp. 263–282.

77. Havlasek P., Jirásek M. Multiscale modeling of drying shrinkage and creep of concrete. <i>Cement and Concrete Research.</i> 2016. Vol. 85, pp. 55–74.

78. Masoero E., Luzio G.Di Nanoparticle simulations of logarithmic creep and microprestress relaxation in concrete and other disordered solids, <i>Cement and Concrete Research.</i> 2020. Vol. 137, p. 106181.

79. Alnaggar M., Cusatis G., Luzio G.Di A discrete model for alkali-silica-reaction in concrete. <i>In: Proceedings of the 8th International Conference on Fracture Mechanics of Concrete and Concrete Structures, FraMCoS.</i> Toledo, Spain, 2013, pp. 1315–1326.

80. Alnaggar M., Cusatis G., Qu J., Liu M. Simulating acoustic nonlinearity change in accelerated mortar bar tests: A discrete meso-scale approach. <i>CRC Press.</i> 2014, pp. 451–458.

81. Ba ant Z., Steffens A. Mathematical model for kinetics of alkali-silica reaction in concrete. <i>Cement and Concrete Research.</i> 2000. Vol. 30, pp. 419–428.

82. Saouma V., Xi Y. Literature review of alkali aggregate reactions in concrete dams, Report cu/sa-xi-2004/001, Department of Civil, Environmental, & Architectural Engineering University of Colorado (2004).

83. Wan L., Wendner R., Liang B., Cusatis G. Analysis of the behavior of ultra-high-performance concrete at early age. <i>Cement and Concrete Composites.</i> 2016. Von. 74, pp. 120–135.

84. Czernuschka L.-M., Boumakis I., Nincevic K., Vorel J., Wan-Wendner R. Chemo-mechanical lattice discrete particle model for normal and high strength concrete, arxiv.org e-Print archive.

85. Pelessone D. MARS: Modeling and Analysis of the Response of Structures – User’s Manual, ES3, Beach (CA), USA (2009). URL http://www.es3inc.com/mechanics/MARS/Online/MarsManual.htm

86. Marcon M., Podrou ek J., Vorel J., Wan-Wendner R. Inherent variability of lattice discrete particle model owing to different particle placement strategies. <i>Materials</i> (in review).

87. Abdellatef M., Boumakis I., Wan-Wendner R., Alnaggar M. Lattice discrete particle modeling of concrete coupled creep and shrinkage behavior: A comprehensive calibration and validation study. <i>Construction and Building Materials.</i> 2019. Vol. 211, pp. 629–645.

88. Bryant A.H., Vadhanavikkit C. Creep, shrinkage-size, and age at loading effects. <i>ACI Materials Journal.</i> 1987. Vol. 84 (2), pp. 117–123.

89. Zhou F.P. Time-dependent crack growth and fracture in concrete, Dissertation, Lund University of Technology, Lund, Sweden (1992).

90. Luzio G.Di Numerical model for time–dependent fracturing of concrete. <i>Journal of Engineering Mechanics.</i> 2009. Vol. 135 (7), pp. 632–640.

91. Luzio G.Di, Muciaccia G., Biolzi L. Size effect in thermally damaged concrete. <i>International Journal of Damage Mechanics.</i> 2010. Vol. 19 (5), pp. 631–656.

92. Luzio G.Di, Biolzi L. Assessing the residual fracture properties of thermally damaged high strength concrete. <i>Mechanics of Materials.</i> 2013. 64, pp. 27–43.

93. Reinhardt H.W. Loading rate, temperature, and humidity effects, in: Fracture Mechanics of Concrete: test method. <i>RILEM 89-FMT</i>, 1992.

94. Multon S., Seignol J.-F., Toutlemonde F. Structural behavior of concrete beams affected by alkali-silica reaction. <i>ACI Materials Journal.</i> 2005. Vol. 102 (2), pp. 67–76.

95. Hubler M.H., Wendner R., Ba ant Z.P. Statistical justification of model b4 for drying and autogenous shrinkage of concrete and comparisons to other models. <i>Materials and Structures.</i> 2015. Vol. 48 (4), pp. 797–814.

96. Wendner R., Hubler M.H., Ba ant Z.P. Statistical justification of model b4 for multi-decade concrete creep using laboratory and bridge databases and comparisons to other models. <i>Materials and Structures.</i> 2015. Vol. 48 (4), pp. 815–833.

97. ASTM C469/C469M-14, Standard test method for static modulus of elasticity and poisson’s ratio of concrete in compression, Tech. rep., ASTM International, West Conshohocken, PA, USA. 2014.

98. ASTM C1293 Standard test method for concrete aggregates by determination of length change of concrete due to alkali-silica reaction., Tech. rep., Annual Book of ASTM Standards, vol. 04.02 (Concrete and Aggregates), ASTM International, Philadelphia (PA), USA. 2002.

99. CAN/CSA-A23.2-14A-14 Potential expansivity of aggregates (procedure for length change due to alkali aggregate reaction in concrete prisms). Tech. rep., CSA A23.2–00: Methods of Test for Concrete, Canadian Standards Association, Mississauga, ON, Canada. 2000.